Effetto Capacitivo e Correnti di Carica nei Cavi di Media e Alta Tensione

Fondamenti Elettromagnetici e Geometria Dielettrica nei Sistemi in Media e Alta Tensione

Lo studio esaustivo dei cavi sotterranei e sottomarini di potenza richiede una comprensione rigorosa della loro architettura elettromagnetica fondamentale. A differenza delle linee aeree di trasmissione, in cui i conduttori sono separati principalmente dall'aria e la geometria di disposizione spaziale genera induttanze e capacità distribuite di valori moderati, i cavi di media e alta tensione (MV/HV) confinano i campi elettrici in geometrie cilindriche compatte con dielettrici solidi o sintetici ad alta permittività costante.

Dalla prospettiva della teoria dei campi elettromagnetici, un cavo coassiale unipolare consiste in un conduttore centrale di raggio interno $r_i$ , circondato da uno strato isolante omogeneo o composito con un raggio esterno (corrispondente allo schermo semiconduttivo o metallico) di valore $r_o$ . Il campo elettrico \vec{E} in qualsiasi punto a una distanza radiale $r$ dal centro del conduttore, assumendo una carica lineare \lambda e una permittività assoluta del mezzo \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r, viene determinato mediante l'applicazione diretta della legge di Gauss in coordinate cilindriche:

E(r) = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r}

Dove \varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, F/m è la permittività del vuoto e \varepsilon_r è la permittività relativa (costante dielettrica) del materiale isolante, il quale assume comunemente valori compresi tra $2.3$ e $3.0$ per il polietilene reticolato (XLPE) e può raggiungere valori da $3.5$ a $4.5$ nella carta impregnata d'olio (MIND). La differenza di potenziale elettrico $V$ tra il conduttore centrale e lo schermo metallico messo a terra si ottiene integrando l'intensità di campo elettrico lungo il raggio dielettrico:

V = \int_{r_i}^{r_o} E(r) \, dr = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \ln\left(\frac{r_o}{r_i}\right)

A partire dalla relazione costitutiva che lega la carica lineare alla capacità per unità di lunghezza $C_s$ (\lambda = C_s V), si deduce l'espressione analitica fondamentale per la capacità di un cavo coassiale:

C_s = \frac{2 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}{\ln\left(\frac{r_o}{r_i}\right)} \quad [ F/m ]

Nei sistemi trifase, la configurazione geometrica dei cavi influisce drasticamente sulla matrice delle capacità. Per cavi unipolari disposti a triangolo (trifoglio) o in piano orizzontale con schermi metallici interconnessi, la capacità effettiva per fase $C$ incorpora sia la capacità propria rispetto allo schermo/terra sia le capacità mutue tra le fasi. In un cavo tripolare con schermo comune o schermatura individuale, il campo elettrico si distribuisce in modo non simmetrico, richiedendo l'uso di trasformazioni conformi o di analisi agli elementi finiti (FEA) per determinare con precisione i gradienti elettrici locali.

Gradienti di Tensione e Distribuzione Non Uniforme del Campo Elettrico

La distribuzione del campo elettrico all'interno dell'isolamento di un cavo non è uniforme; essa presenta un profilo iperbolico in cui l'intensità massima si verifica immancabilmente sulla superficie del conduttore centrale ( $r = r_i$ ) e la minima sullo schermo metallico ( $r = r_o$ ). Il valore massimo del campo elettrico viene calcolato come:

E_{\max} = \frac{V}{r_i \ln\left(\frac{r_o}{r_i}\right)}

Per un diametro esterno dell'isolamento dato e una tensione di esercizio nominale fissa, esiste un raggio ottimo del conduttore $r_{i, opt }$ che minimizza lo sforzo dielettrico massimo, ottenuto derivando E_{\max} rispetto a $r_i$ eguagliandola a zero:

\frac{r_o}{r_i} = e \approx 2.71828 \implies r_{i, opt } = \frac{r_o}{e}

Questa condizione implica che il rapporto ottimale tra il raggio esterno e il raggio interno dell'isolamento debba essere pari al numero di Nepero. Quando i cavi operano a tensioni altissime (EHV), questa limitazione geometrica impone l'uso di conduttori segmentati o a trefoli sagomati (Milliken) per incrementare il raggio effettivo del conduttore senza aumentare sproporzionatamente la sezione trasversale di rame o alluminio, controllando in tal modo gli sforzi tangenziali e radiali che potrebbero innescare scariche parziali (PD).

Equazioni Costitutive e Dinamica della Corrente di Carica Capacitiva

Quando un cavo di potenza di lunghezza $L$ viene energizzato da una sorgente di tensione alternata sinusoidale di frequenza angolare \omega = 2 \pi f, il dielettrico del cavo agisce come un condensatore distribuito lungo l'intera sua traiettoria. La corrente di carica capacitiva totale $I_c$ che circola dal conduttore verso lo schermo metallico e il sistema di messa a terra si ricava direttamente dalla reattanza capacitiva equivalente del circuito:

I_c = \omega \cdot C_{ total } \cdot V_{ fase } = 2 \pi f \cdot (C_s \cdot L) \cdot \left(\frac{VLL}{\sqrt{3}}\right)

Dove $VLL$ è la tensione nominale composta (fase-fase) del sistema e $f$ è la frequenza industriale ( $50$ o 60 \, Hz ). All'aumentare della tensione nominale del sistema e della lunghezza del collegamento sotterraneo, la corrente di carica cessa di essere un parametro trascurabile per trasformarsi in una componente dominante della corrente totale che scorre attraverso il conduttore del cavo.

Nelle reti di distribuzione in media tensione (13.8 \, kV , 23 \, kV , 34.5 \, kV ), le correnti di carica sono tipicamente dell'ordine di pochi ampere per chilometro, il che ne consente l'integrazione nei flussi di carico convenzionali senza alterazioni operative di rilievo. Tuttavia, nei sistemi ad alta tensione (110 \, kV , 220 \, kV ) e altissima tensione (400 \, kV e superiori), i valori di capacità specifica oscillano tra 0.2 \, \mu F/km e 0.4 \, \mu F/km . Ciò genera correnti di carica che possono superare i 10 \, A - 30 \, A per chilometro di circuito.

L'impatto termico di questa corrente capacitiva è diretto e cumulativo. La capacità di trasporto di corrente nominale (portata o ampacity) del conduttore risulta ridotta poiché la sezione trasversale del metallo deve condividere la sua capacità termica ammissibile ( $I^2 R$ ) tra la corrente attiva del carico e la corrente reattiva di carica capacitiva:

I_{ max\_disponibile } = \sqrt{I_{ thermal\_limit }^2 - I_c^2}

Nei circuiti estremamente lunghi (per esempio, interconnessioni sottomarine superiori a 30 \, km a 132 \, kV ), la corrente di carica capacitiva può eguagliare o addirittura superare la corrente nominale di progetto del carico. In tali condizioni, il cavo opera a pieno carico termico trasportando esclusivamente la propria corrente di carica capacitiva a vuoto, rendendo impossibile il trasferimento di potenza utile verso il carico finale a meno di implementare misure di compensazione mediante reattori in derivazione (shunt reactors).

Analisi Forense dei Guasti, Fenomeni Transitori e Degradazione Dielettrica

La presenza continua di intensi campi elettrici ed elevate correnti di carica capacitiva espone i sistemi di cavi di potenza a gravi meccanismi di degrado che, se non adeguatamente mitigati, conducono a guasti catastrofici dell'isolamento, distruzione dei terminali, esplosioni nei quadri di media/alta tensione e danni irreparabili ai trasformatori di potenza.

Effetto Ferranti in Collegamenti Lunghi in Cavo

L'effetto Ferranti descrive l'incremento della tensione all'estremità ricevente di una linea di trasmissione o di un cavo di potenza quando questo opera a vuoto o con carichi molto bassi. Nei cavi sotterranei, a causa della loro elevata capacità distribuita in parallelo e della loro induttanza serie relativamente bassa rispetto alle linee aeree, questo fenomeno si manifesta in modo molto aggressivo anche a distanze moderate.

Matematicamente, la relazione tra la tensione all'estremità trasmittente $V_s$ e la tensione all'estremità ricevente $V_r$ di un cavo di lunghezza $L$ con costante di propagazione complessa \gamma = \alpha + j\beta e impedenza caratteristica Z_c = \sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}} si esprime mediante le equazioni delle linee lunghe:

V_s = V_r \cosh(\gamma L) + I_r Z_c \sinh(\gamma L)

Per un cavo operante rigorosamente a vuoto ( $I_r = 0$ ), l'equazione si riduce a:

V_s = V_r \cosh(\gamma L) \implies V_r = \frac{V_s}{\cosh(\gamma L)}

Dato che per un dielettrico di alta qualità le perdite conduttive sono trascurabili (G \approx 0) e la resistenza del conduttore è piccola (R \ll \omega L), la costante di propagazione si approssima a \gamma \approx j\omega\sqrt{LC} = j\beta. Utilizzando le identità iperboliche e trigonometriche, la sovratensione all'estremità aperta si approssima a:

V_r \approx \frac{V_s}{\cos(\beta L)} = \frac{V_s}{\cos(\omega \sqrt{LC} \cdot L)}

Man mano che il prodotto della frequenza, dell'induttanza, della capacità e del quadrato della lunghezza aumenta, il denominatore diminuisce drasticamente, facendo sì che $V_r$ superi ampiamente $V_s$ . Questa sovratensione permanente sottopone l'isolamento solido (XLPE) a uno sforzo dielettrico superiore a quello per cui è stato progettato, accelerando l'invecchiamento chimico e la comparsa di scariche parziali.

Risonanza Ferroresonante e Transitori di Manovra

L'interazione tra la capacità massiccia del cavo e gli elementi induttivi non lineari presenti nel sistema (quali trasformatori di tensione inductivi, trasformatori di distribuzione operanti a vuoto o reattori con nuclei in ferro ferromagneticamente saturi) può innescare fenomeni di ferroresonanza. Questo regime oscillatorio non lineare è caratterizzato da sovratensioni sostenute di ampiezza elevata (da $2.0$ a $4.5$ volte la tensione nominale) e dalla comparsa di componenti armoniche e subarmoniche severe.

Durante l'apertura di interruttori automatici in aria o in esafluoruro di zolfo che operano su circuiti puramente capacitivi, si verificano ripetute riaccensioni o scoccamenti dell'arco elettrico (restriking). Ciascuna riaccensione scarica bruscamente l'energia immagazzinata nella capacità del cavo attraverso l'induttanza parassita della rete, generando transitori ad alta frequenza (dell'ordine dei kilohertz o megahertz) con fronti d'onda ripidi ( $dv/dt$ estremo). Tali fronti d'onda colpiscono gli avvolgimenti dei trasformatori collegati e gli schermi dei cavi, provocando distribuzioni di tensione non lineari lungo le spire del trasformatore e causando rotture dielettriche tra le spire o perforazione dell'isolamento principale.

Effetti Termici e Degradazione per Arborescenze Elettriche (Water Trees e Electrical Trees)

La combinazione dello sforzo elettrico continuo derivante dal campo capacitivo e della presenza di umidità microscopica nell'isolamento polimerico estruso genera il fenomeno noto come arborescenze d'acqua (water treeing). Questi microcanali ramificati crescono lentamente nel corso degli anni, spinti dalla forza del campo elettrico alterno sulle molecole d'acqua intrappolate in discontinuità o impurità dell'XLPE. Sebbene le arborescenze d'acqua di per sé non conducano a un guasto immediato, riducono drasticamente la rigidità dielettrica del materiale.

Sotto l'influenza di sovratensioni transitorie o impulsi atmosferici, tali arborescenze d'acqua si trasformano in arborescenze elettriche (electrical trees), le quali crescono in modo esponenziale e rapido, carbonizzando il polimero fino a determinare la perforazione totale dell'isolamento e il conseguente cortocircuito fase-terra.

Parametri Elettrici e Limiti Normativi (IEEE / IEC)

La progettazione, il dimensionamento e l'esercizio in sicurezza dei cavi di media e alta tensione sono regolati rigorosamente da normative internazionali consolidate. Le tabelle seguenti espongono i parametri elettrici critici, i limiti normativi internazionali secondo IEEE e IEC, e le conseguenze operative del loro mancato rispetto.

Parametro Elettrico / Fisico	Intervallo Tipico (Media Tensione 15-35 kV)	Intervallo Tipico (Alta Tensione 110-400 kV)	Norma di Riferimento Principale
Capacitanza Specifica ( $C_s$ )	$0.15$ a 0.30 \, \mu F/km	$0.10$ a 0.25 \, \mu F/km	IEC 60502-2 / ICEA S-94-649
Corrente di Carica Capacitiva ( $I_c$ )	$0.5$ a 3.5 \, A/km	$8.0$ a 35.0 \, A/km	IEEE Std 400 / IEC 60287
Gradiente Elettrico Massimo (E_{\max})	$3.0$ a 5.0 \, kV/mm	$8.0$ a 15.0 \, kV/mm	IEC 60840 / IEC 62067
Fattore di Dissipazione Dielettrica (\tan \delta)	\le 0.001 (XLPE nuovo)	\le 0.0005 (XLPE extra pulito)	IEEE Std 400.2 / IEC 60502

Condizione Critica di Guasto	Limite Normativo (IEEE / IEC)	Conseguenza Operativa e Dielettrica
Sovratensione per Effetto Ferranti	V_r \le 1.10 \times V_n (Esercizio continuo)	Accelerazione dell'invecchiamento dell'XLPE, scariche parziali sostenute, intervento delle protezioni di sovratensione.
Corrente Indotta sullo Schermo	Limitata a $300$ A (Perdite accettabili secondo IEC 60287)	Riscaldamento eccessivo degli schermi metallici, drastica riduzione della portata termica del conduttore principale.
Livello di Scariche Parziali (PD)	\le 5 pC a 1.5 \times V_0 (Collaudo in fabbrica)	Erosione progressiva delle cavità interne, formazione di canali di scarica e guasto disruttivo precoce.
Rigidità Dielettrica sotto Impulso	Conforme al BIL (Basic Insulation Level) specifico	Perforazione istantanea dell'isolamento in presenza di scariche atmosferiche o manovre severe degli interruttori.

Strategie Avanzate di Mitigazione e Compensazione Reattiva

Per contrastare gli effetti avversi derivanti dalle elevate correnti di carica capacitiva e dall'effetto Ferranti nei sistemi di cavi in media e alta tensione, l'ingegneria dei sistemi di potenza implementa diverse strategie di compensazione reattiva e di gestione topologica.

Compensazione con Reattori in Derivazione (Shunt Reactors)

La metodologia più efficace per neutralizzare la potenza reattiva capacitiva generata da un cavo lungo consiste nell'installazione di reattori induttivi collegati in parallelo (shunt) alle estremità del circuito (solitamente presso le sottostazioni terminali). La potenza reattiva capacitiva generata dal cavo $Q_c$ si calcola come:

Q_c = 3 \cdot \omega \cdot C_{ total } \cdot V_{ fase }^2 = \omega \cdot C_{ total } \cdot VLL^2

Il reattore in derivazione viene dimensionato per fornire una potenza reattiva induttiva $Q_L$ in grado di compensare una percentuale determinata (tipicamente tra il 50\% e il 100\%) della potenza capacitiva generata alla frequenza nominale:

Q_L = \frac{3 \cdot V_{ fase }^2}{\omega L_{ reactor }}

Bilanciando o eguagliando $Q_L$ con $Q_c$ , il fattore di potenza visto dalla barra della sottostazione si approssima all'unità, eliminando l'incremento di tensione dovuto all'effetto Ferranti e liberando capacità termica nei trasformatori e nei conduttori della rete.

Progettazione dei Sistemi di Messa a Terra degli Schermi e Trasposizioni

Gli schermi metallici dei cavi unipolari (generalmente costituiti da trecce, fili o nastri di rame) agiscono come una schermatura conduttiva che confina il campo elettrico. Tuttavia, a causa della corrente alternata che scorre nel conduttore centrale, viene indotta una forza elettromotrice longitudinale sullo schermo metallico per induzione elettromagnetica. Se gli schermi vengono collegati rigidamente a terra a entrambe le estremità del circuito, circoleranno correnti di circolazione (circulating currents) indotte che generano perdite joule significative sullo schermo, riducendo la capacità di trasporto di corrente (ampacity) del cavo.

Per mitigare questo problema, si adottano schemi avanzati di messa a terra:

Messa a Terra a un Solo Capo (Single-Point Bonding): Lo schermo viene collegato a terra a una sola estremità e isolato all'altra mediante un limitatore di sovratensione di guaina (link box). Tale soluzione è impiegata nei circuiti corti per eliminare del tutto le correnti di circolazione, sebbene richieda di limitare la lunghezza del cavo affinché la tensione indotta all'estremità aperta non superi i limiti di sicurezza della guaina esterna (tipicamente V_{ indotta } \le 50 \, V in condizioni normali di carico).
Messa a Terra Incrociata (Cross-Bonding): Nei circuiti lunghi, il percorso del cavo viene suddiviso in tre sezioni uguali (o multipli). Gli schermi metallici vengono interrotti e interconnessi mediante trasposizioni cicliche nelle cassette di giunzione (cross-bonding link boxes), in modo tale che le tensioni indotte in ciascun terzo di sezione si cancellino vettorialmente tra loro, riducendo la corrente netta di schermo a valori prossimi allo zero e consentendo di operare con lunghezze di circuito notevolmente superiori senza penalizzare la portata termica (ampacity).

Applicazione Pratica e Analisi Computazionale tramite Vexten Suite

Il dimensionamento rigoroso e la validazione di un sistema di cavi in media e alta tensione secondo le norme internazionali richiedono l'impiego di piattaforme di calcolo avanzate. Di seguito viene illustrato un caso studio risolto mediante i motori di calcolo della Vexten Suite, integrando le normative IEC 60909 / IEEE 141 per il cortocircuito e la IEC 60287 per la portata e il regime termico.

Specifiche del Caso Studio Industriale

Viene analizzato un collegamento sotterraneo in Alta Tensione a 132 \, kV (sistema trifase, frequenza 50 \, Hz ), con una lunghezza L = 18.5 \, km , realizzato con cavi unipolari in XLPE dotati di conduttore in alluminio con sezione trasversale di 800 \, mm ^2. I parametri fisici ed elettrici ricavati dal catalogo di progetto sono i seguenti:

Tensione Nominale Composta ( $VLL$ ): 132 \, kV
Capacitanza specifica per fase ( $C_s$ ): 0.21 \, \mu F/km
Capacitanza Totale del circuito ( $C_{ total }$ ): 0.21 \times 18.5 = 3.885 \, \mu F
Resistenza del conduttore a $90 °C$ ( $Rac$ ): 0.048 \, \Omega/ km
Induttanza propria per fase ( $L_s$ ): 0.38 \, mH/km

Calcolo Analitico Automatizzato nella Vexten Suite

Mediante il modulo di analisi delle reti della Vexten Suite, viene dapprima valutata la corrente di carica capacitiva totale generata dal collegamento:

I_c = 2 \pi f \cdot C_{ total } \cdot V_{ fase } = 2 \pi (50) \cdot (3.885 \times 10^{-6}) \cdot \left(\frac{132 \times 10^3}{\sqrt{3}}\right)

I_c = 314.16 \times 3.885 \times 10^{-6} \times 76,210.23 = 93.04 \, A

La corrente di carica capacitiva ottenuta è pari a 93.04 \, A . Tale valore rappresenta un carico reattivo considerevole che deve essere obbligatoriamente preso in considerazione nella progettazione termica del cavo e nel bilancio di potenza della sottostazione.

Successivamente, il motore di calcolo valuta l'effetto Ferranti in condizioni di vuoto ( $I_r = 0$ ). La costante di fase \beta viene calcolata come:

\beta = \omega \sqrt{L_s C_s} = 314.16 \times \sqrt{(0.38 \times 10^{-3}) \times (0.21 \times 10^{-6})} = 314.16 \times 2.828 \times 10^{-5} = 0.00888 \, rad/km

Per l'intera lunghezza del cavo L = 18.5 \, km :

\beta L = 0.00888 \times 18.5 = 0.16428 \, rad \implies 9.41^\circ

Applicando la formula di approssimazione per la tensione all'estremità ricevente a vuoto:

V_r = \frac{V_s}{\cos(\beta L)} = \frac{132 \, kV }{\cos(9.41^\circ)} = \frac{132}{0.9866} = 133.80 \, kV

Sebbene per 18.5 \, km l'incremento dovuto all'effetto Ferranti sia moderato (\approx 1.36\%), qualora il collegamento venisse esteso a 60 \, km , il prodotto \beta L raggiungerebbe 0.5328 \, rad (30.52^\circ), determinando una tensione all'estremità ricevente pari a:

V_r = \frac{132}{\cos(30.52^\circ)} = \frac{132}{0.8613} = 153.25 \, kV

Questa sovratensione del 16.1\% supera ampiamente i margini operativi tollerabili dalle apparecchiature connesse, giustificando l'inserimento automatico dei reattori in derivazione raccomandati dal motore di ottimizzazione della Vexten Suite.

Valutazione Termica e di Portata secondo la Norma IEC 60287

Il modulo di calcolo della portata (ampacity) della Vexten Suite elabora le perdite dielettriche, le perdite per effetto Joule nel conduttore e le perdite indotte negli schermi metallici al fine di determinare la massima corrente ammissibile. Le perdite dielettriche $W_d$ per metro di cavo vengono calcolate tramite l'espressione:

W_d = \omega \cdot C_s \cdot V_{ fase }^2 \cdot \tan\delta

Assumendo un fattore di dissipazione \tan\delta = 0.0008 per l'XLPE di alta qualità:

W_d = 314.16 \times (0.21 \times 10^{-6}) \times (76,210.23)^2 \times 0.0008 = 0.306 \, W/m per fase

Tali perdite interne generano un flusso termico costante verso l'ambiente circostante il quale, sommandosi alla dissipazione termica della corrente di carica di 93.04 \, A , riduce la capacità del conduttore da 800 \, mm ^2 (la cui portata di base in terreno aperto è pari a 720 \, A ) a una portata netta disponibile per il carico attivo pari a:

I_{ net\_util } = \sqrt{720^2 - 93.04^2} = \sqrt{518,400 - 8,656.4} = \sqrt{509,743.6} = 713.96 \, A

Il software Vexten Suite genera in modo automatizzato il rapporto tecnico di conformità normativa, indicando che gli schermi metallici devono essere configurati secondo lo schema a messa a terra incrociata (cross-bonding) per prevenire ulteriori perdite sugli schermi stessi, garantendo che il sistema operi entro i limiti termici e dielettrici stabiliti dalle normative IEC 60287, IEC 60840 e IEEE Std 400.