Ferrorésonance dans les transformateurs alimentés par câbles longs

Phénoménologie de la Résonance Harmonique et de la Ferrorésonance dans les Systèmes Câble-Transformateur

Dans la conception et l'exploitation des systèmes de distribution et de sous-transmission à moyenne et haute tension (MT/HT), le remplacement des lignes aériennes par des câbles souterrains à isolation extrudée — principalement en polyéthylène réticulé (XLPE) — entraîne des modifications substantielles des paramètres répartis du réseau. La réactance capacitive transversale d'un câble souterrain est inférieure de plusieurs ordres de grandeur à celle d'une ligne aérienne équivalente, en raison de la permitivité relative élevée du diélectrique ( $\varepsilon_r \approx 2.3 - 3.0$ ) et de la distance réduite entre le conducteur et l'écran. Lorsqu'un long tronçon de câble souterrain alimente un transformateur de puissance fonctionnant à vide ou sous très faible charge, il s'établit un circuit oscillant à haute inductance et haute capacité capable de manifester des phénomènes de résonance linéaire et de ferrorésonance.

La résonance linéaire se manifeste lorsque la réactance inductive équivalente du réseau ( $X_L$ ) s'égale exactement à la réactance capacitive du câble ( $X_C$ ) à une fréquence déterminée, qu'il s'agisse de la fréquence fondamentale ou d'une fréquence harmonique spécifique générée par des charges non linéaires. Cependant, le phénomène le plus destructeur et le plus complexe dans ces topologies est la ferrorésonance : un phénomène dynamique non linéaire superharmonique ou subharmonique qui naît de l'interaction entre la capacité répartie du câble souterrain ( $C_c$ ) et l'inductance magnétisante non linéaire et saturable ( $L_m(i)$ ) du noyau ferromagnétique du transformateur.

Contrairement à la résonance linéaire RLC pure, la ferrorésonance ne présente pas de fréquence de résonance unique définie par l'équation classique $f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ . Le noyau du transformateur étant un élément hautement non linéaire soumis à l'hystérésis et à la saturation magnétique, l'inductance magnétisante varie considérablement en fonction du flux instantané $\phi(t)$ ou du courant de magnétisation $i_m(t)$ :

L_m(i) = \frac{d\lambda}{di} = \frac{N \cdot d\Phi}{di}

Où $\lambda$ est le flux total encadré, $N$ est le nombre de spires de l'enroulement et $\Phi$ est le flux magnétique dans le noyau. À l'état non saturé, l'inductance magnétisante est extrêmement élevée ( $L_m \approx 10 - 100 H$ ), mais en entrant profondément dans le régime de saturation, la perméabilité relative du matériau ferromagnétique ( $\mu_r$ ) chute drastiquement vers des valeurs proches de la perméabilité du vide ( $\mu_0$ ), réduisant l'inductance incrémentale à des valeurs équivalentes à l'inductance de fuite de l'enroulement ( $L_k \approx mH$ ).

Cette variation brutale de l'inductance permet au circuit de satisfaire la condition de résonance capacitive-inductive pour de multiples valeurs de tension et de fréquence, ce qui donne lieu à des sauts d'état (jump resonance), à de la bistabilité, à des surtensions harmoniques soutenues à crête distordue et à des régimes transitoires thermo-diélectriques sévères qui menacent l'intégrité opérationnelle des actifs électriques.

Mécanismes d'Excitation et Configurations Critiques

La ferrorésonance dans les câbles souterrains alimentant des transformateurs est généralement déclenchée par des manœuvres non simultanées d'appareils de coupure, par la rupture monophasée de conducteurs ou par la fusion asymétrique de fusibles à moyenne tension. Les trois principales configurations d'excitation sont détaillées ci-dessous :

Fonctionnement Monophasé de l'Appareillage (Ouverture ou Fermeture Asynchrone) : Lors de la fermeture ou de l'ouverture pôle à pôle de sectionneurs ou d'interrupteurs monophasés, ou en cas de défaillance d'un pôle dans un disjoncteur tripolaire, une ou deux phases du câble se retrouvent déenergisées du côté source, tout en restant couplées capacitivement aux phases sous tension à travers les capacitances interphases ( $Cm$ ) et phase-terre ( $Cg$ ) du câble souterrain. Ce couplage injecte un courant capacitif dans l'enroulement sous tension du transformateur, déplaçant le point de fonctionnement vers la zone de saturation.
Conductor Roto con Cable en Vacío : Si un conducteur de phase se rompe sur le tronçon d'alimentation par câble en amont du transformateur, la section isolée du câble reste alimentée galvaniquement par l'impédance de l'enroulement du transformateur et la capacité des autres phases, formant ainsi un circuit de retour résonnant avec le neutre flottant ou mis à la terre.
Couplage Capacitif entre Circuits Parallèles : Des câbles souterrains à circuits multiples disposés dans le même banc de conduits ou la même tranchée peuvent transférer une énergie capacitive significative à un transformateur hors service mais non mis à la terre, induisant une ferrorésonance par couplage capacitif parasite.

Formulation Mathématique Avancée et Bifurcation d'États

Le comportement dynamique de la ferrorésonance est modélisé de manière analytique à l'aide d'équations différentielles ordinaires non linéaires. Si l'on simplifie la topologie en un circuit équivalent monophasé alimenté par une source sinusoïdale $v(t) = V_m \cos(\omega t + \theta)$ à travers une capacité de câble $C_c$ et avec une résistance de pertes série/parallèle $R$ , la relation entre le flux magnétique encadré $\phi(t)$ et le courant de magnétisation $i(t)$ du transformateur est approchée par un polynôme impair de degré $n$ (où $n = 7, 9 ou 11$ habituellement) :

i(\phi) = a \cdot \phi(t) + b \cdot \phi(t)^n

En appliquant la seconde loi de Kirchhoff à la boucle série formée par la source de tension, la capacité du câble et l'inductance magnétisante saturable du transformateur, l'équation différentielle du système répond à l'équation de type Duffing forcée :

\frac{d^2\phi}{dt^2} + \frac{1}{R_s C_c} \frac{d\phi}{dt} + \frac{1}{C_c} \left( a \cdot \phi + b \cdot \phi^n \right) = \omega V_m \sin(\omega t + \theta)

Où $R_s$ représente les pertes équivalentes par effet Joule et les pertes dans le fer (courants de Foucault et pertes par hystérésis dans le noyau). La non-linéarité introduite par le terme $b \cdot \phi^n$ invalide l'application du principe de superposition et génère une carte de phase multifurquée.

Analyse dans l'Espace d'État et Diagrammes de Bifurcation

Pour une analyse triphasée rigoureuse, le système est formulé dans l'espace d'état vectoriel :

\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), \mathbf{\mu})

Où le vecteur d'état $\mathbf{x}(t) = [\phi_a, \phi_b, \phi_c, vca, vcb, vcc]^T$ contient les flux dans les noyaux de chaque phase et les tensions aux bornes des condensateurs du câble ; $\mathbf{u}(t)$ est l'excitation de tension externe ; et $\mathbf{\mu}$ représente le vecteur des paramètres physiques ( $L_c, C_c, Rcore, longueur de câble$ ).

À mesure que le paramètre de commande (par exemple, la longueur du câble ou la tension du système $Vrms$ ) augmente de manière continue, les solutions stationnaires du système subissent des bifurcations topologiques. Les types de ferrorésonance résultants, catégorisés selon la théorie des systèmes dynamiques, sont :

Mode Fondamental (Synchronique 1/1) : La réponse en courant et en tension est périodique avec la même période $T = 2\pi/\omega$ que le réseau électrique. Il se caractérise par des courants de crête très élevés et une hyper-saturation répétée à chaque demi-cycle.
Mode Subharmonique (1/n) : La réponse est périodique avec une période qui est un multiple entier de la période de la source ( $T_s = n \cdot T$ , typiquement $n = 3, 5$ ). Le flux magnétique oscille à des fréquences de $16,6 Hz$ ou $20 Hz$ (pour les réseaux de 50/60 Hz), générant un bourdonnement caractéristique à très basse fréquence et une forte saturation thermique.
Mode Quasi-Périodique : Les fréquences de la réponse ne sont pas commensurables avec la fréquence du réseau. La trajectoire dans l'espace des phases forme un tore et ne se répète pas de manière inverse dans le temps.
Mode Chaotique : La trajectoire dans l'espace d'état est déterministe mais extrêmement sensible aux conditions initiales (effet papillon). Le spectre de fréquences est continu et plat (bruit à large bande), et les surtensions présentent des pics imprévisibles et stochastiques d'une magnitude dévastatrice.

Exposant de Lyapunov : \lambda_L = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \ln \left( \frac{\|\delta \mathbf{x}(t)\|}{\|\delta \mathbf{x}(0)\|} \right) > 0 \quad \Rightarrow \quad Comportement Chaotique

Analyse Forensique des Modes de Défaillance Diélectrique et Thermique

La survenue d'événements ferrorésonants non détectés ou de longue durée dans les sous-systèmes câble-transformateur entraîne inévitablement des pannes catastrophiques. L'analyse forensique en génie électrique classe ces destructions en quatre mécanismes principaux de dégradation et de collapse :

Effondrement Thermique par Surflux Magnétique ( $V/f$ )

Pendant la ferrorésonance en mode fondamental ou subharmonique, le flux magnétique dans le noyau dépasse largement le flux nominal de saturation ( $B_s \approx 1,7 - 2,0 Tesla$ ), atteignant des valeurs d'excursion allant jusqu'à $2,3 Tesla$ . Cette sur-fluxation extrême satisfait la condition :

\left( \frac{V}{f} \right)_{\text{ réel }} > 1,25 - 1,50 p.u.

Étant donné que le noyau ferromagnétique est complètement saturé, les lignes de flux magnétique ne peuvent plus être confinées à l'intérieur des tôles d'acier au silicium à grains orientés (CRGO) et se dispersent vers les milieux environnants de plus faible réluctance : l'huile diélectrique, les armatures mécaniques de fixation (culasses et tirants), les blindages magnétiques et les parois en tôle d'acier de la cuve du transformateur. Le flux de dispersion induit des courants de Foucault massifs dans la structure métallique externe et dans les boulons d'assemblage. La densité de puissance dissipée par unité de volume s'exprime selon :

P_{ Foucault } = K \cdot f^2 \cdot B_{ peak }^2 \cdot t_m^d

Où $t_d$ représente l'épaisseur du matériau conducteur et $K$ une constante structurelle. Ce phénomène produit des points chauds localisés (hot-spots) dont les températures dépassent rapidement $300^\circ C$ à $500^\circ C$ en quelques minutes, pyrolysant l'huile isolante (génération accélérée de gaz dissous tels que l'éthylène $C_2H_4$ , l'hydrogène $H_2$ et le méthane $CH_4$ ) et dégradant de manière irréversible l'isolation solide en cellulose (papier Kraft) par dépolymérisation thermique brutale.

Perforation Diélectrique par Surtensions Déplacées et Harmoniques

Les surtensions d'origine ferrorésonante diffèrent des surtensions de type foudre (BIL) ou de manœuvre (SIL). Elles ont un caractère soutenu dans le temps (de quelques secondes à plusieurs heures) avec des formes d'onde distordues qui présentent des taux de variation de tension élevés par rapport au temps ( $dV/dt$ ). Dans les transformateurs à neutre isolé ou relié à la terre par une haute impédance, le déplacement du point neutre lors d'une manœuvre monophasée élève la tension des phases saines à des valeurs phase-phase ( $\sqrt{3} p.u.$ ) ou supérieures (jusqu'à $3,5 - 4,5 p.u.$ ).

La tension appliquée sur le diélectrique du câble XLPE et sur l'isolation entre galettes/couches de l'enroulement du transformateur dépasse le gradient de rigidité diélectrique critique ( $Ecrit$ ). Cela déclenche :

Arborescences d'Eau (Water Treeing) et Arborescences Électriques (Electrical Treeing) dans le XLPE : Les surtensions harmoniques accélèrent le vieillissement par décharges partielles (DP) dans les cavités microscopiques du diélectrique en polyéthylène, érodant le matériau par des décharges dendritiques continues jusqu'à l'obtention de la perforation totale à la terre.
Défaillance de l'Isolation Interspires dans les Transformateurs : Les harmoniques à haute fréquence imposent une distribution non uniforme de la tension le long de l'enroulement primaire. Le premier pourcentage de spires proche de la borne d'entrée supporte jusqu'à $70\%$ du pic de la surtensión imposée, provoquant la perforation du vernis ou du papier du conducteur et un court-circuit entre spires adjacentes.

Effets Thermo-Destructifs sur les Limiteurs de Surtension (Parafoudres MOV)

Les limiteurs de surtension à oxyde de zinc (MOV - Metal Oxide Varistors) installés à la transition câble-transformateur sont dimensionnés pour absorber des transitoires d'énergie impulsive de courte durée (de la microseconde à la milliseconde). Lors d'un événement de ferrorésonance soutenue, la tension aux bornes dépasse continuellement la tension assignée en régime permanent (MCOV - Maximum Continuous Operating Voltage).

Le MOV entre dans une zone de conduction active continue à courant élevé. L'énergie dissipée à l'intérieur des pastilles de ZnO se calcule selon :

E_{ absorbed } = \int_0^{t_{ ferro }} v_{ mov }(t) \cdot i_{ mov }(t) \, dt

Étant donné que la durée $t_{ ferro }$ est continue, l'énergie accumulée dépasse la capacité nominale d'absorption thermique d'énergie du varistor (généralement exprimée en $kJ/kV$ de MCOV, typiquement de $4 à 12 kJ/kV$ ). En dépassant la limite thermique, les pastilles de ZnO subissent un emballement thermique (thermal runaway), réduisant leur résistance intrinsèque à zéro et provoquant un court-circuit phase-terre violent avec explosion mécanique et projection de fragments de porcelaine ou de polymère.

Cadre Normatif et Critères Internationaux (IEEE / IEC)

La conception de sous-systèmes intégrés par des câbles et des transformateurs exige un respect strict des prescriptions normatives afin de garantir l'immunité face aux phénomènes ferrorésonants et l'invariance opérationnelle.

Les principales normes internationales applicables sont :

IEEE C57.105 : IEEE Guide for Application of Transformer Connections in Three-Phase Distribution Systems. Fournit des lignes directrices détaillées sur les connexions de transformateurs sujettes à la ferrorésonance et définit des limites pratiques pour la longueur critique des câbles souterrains.
IEC 60071-1 / IEEE Std 1313.1 : Coordination de l'isolement - Partie 1 : Définitions, principes et règles. Définit les niveaux d'isolement normalisés, les facteurs de surtension temporaire (TOV) et les critères d'évaluation des surtensions soutenues non linéaires.
IEC 60076-1 / IEEE C57.12.00 : Transformateurs de puissance - Partie 1 : Généralités. Spécifie les tolérances de surfluxation magnétique continue ( $V/f \le 1.10 p.u.$ à pleine charge, $V/f \le 1.05 p.u.$ à vide).
IEEE 519 : IEEE Standard for Harmonic Control in Electric Power Systems. Établit les limites admissibles de distorsion harmonique totale de tension ( $THD_v \le 5\%$ en MT, $\le 1.5 - 2.5\%$ en HT) et d'injection de courant harmonique.

Paramètre Opérationnel / Diélectrique	Norme de Référence	Seuil Critique de Référence	Mécanisme de Défaillance Incohérente	Conséquence Thermique/Diélectrique sur l'Actif
Facteur de Surfluxation ( $V/f$ )	IEC 60076-1 / IEEE C57.12.00	$> 1,10 p.u.$ (Continu) $> 1,25 p.u.$ ( $t > 10 s$ )	Dispersion du flux magnétique vers les parties structurelles non laminées.	Pyrolyse de l'huile, point chaud dans les culasses ( $> 250^\circ C$ ), dégénérescence du papier isolant.
Surtension Temporaire (TOV)	IEC 60071-1	$> 1,50 p.u.$ ( $t > 1 s$ ) $> 2,50 p.u.$ ( $t > 0,1 s$ )	Dépassement de la rigidité diélectrique à fréquence industrielle.	Décharges partielles dans le XLPE, perforation inter-couche/interspire dans les enroulements.
Absorption Énergétique dans le MOV	IEC 60099-4 / IEEE C62.11	$E_{ abs } > E_{ th }$ ( $4 - 10 kJ/kV$ )	Excès de dissipation de puissance en régime de conduction continue MCOV.	Emballement thermique (Thermal runaway), court-circuit interne et explosion du parafoudre.
Longueur Relative du Câble ( $L_{\text{ câble }}$ )	IEEE C57.105	La capacité équivalente du câble dépasse la capacité critique $C_{ crit }$ .	Formation de la boucle résonnante série entre la capacité du câble et l'inductance saturée.	Bifurcation chaotique ou mode subharmonique auto-soutenu lors de la manœuvre d'appareillage monophasé.
Distorsion Harmonique de Tension ( $THD_v$ )	IEEE 519 / IEC 61000-3-6	$THD_v > 5,0\%$ (MT) $THD_v > 2,5\%$ (HT)	Injection harmonique coïncidant avec les fréquences naturelles de résonance parallèle.	Pertes additionnelles par courants de Foucault dans le cuivre et résonance parallèle sévère.

Stratégies de Conception, d'Atténuation et Topologie de Réseau

La prévention et la suppression des phénomènes ferrorésonants dans les systèmes alimentés par de longs câbles souterrains exigent une combinaison de topologies de réseau robustes, de critères de manœuvre stricts et d'éléments d'amortissement passifs/actifs.

Élimination de l'Exploitation Monophasée (Systèmes de Coupure Tripolaire)

La mesure préventive la plus efficace au niveau de la conception primaire est d'interdire l'installation de fusibles monophasés ou de sectionneurs de manœuvre pôle à pôle en tête de la ligne souterraine d'alimentation des transformateurs de distribution ou de sous-transmission. À la place, il est requis l'utilisation exclusive de disjoncteurs automatiques ou d'interrupteurs-sectionneurs sous charge à commande mécanique tripolaire simultanée. En garantissant que les trois phases sont connectées et déconnectées avec une dispersion temporelle entre pôles inférieure à $2 ms$ , on élimine l'injection de tension capacitive à travers les phases ouvertes.

Sélection de la Topologie et Construction du Noyau du Transformateur

La construction physique du noyau magnétique influence considérablement la susceptibilité à la ferrorésonance :

Noyaux à 3 Colonnes (3-Leg Core) : Dans un noyau triphasé à trois colonnes coplanaires, le flux de séquence zéro ne dispose pas d'un chemin de matériau ferromagnétique fermé pour retourner. Le flux de séquence zéro doit sortir du noyau et retourner à travers l'huile et la cuve métallique, ce qui implique une inductance de séquence zéro ( $L_0$ ) extrêmement faible (typiquement $0,1 - 0,2 p.u.$ ). Cette faible inductance procure un amortissement naturel drastique face aux modes ferrorésonants impliquant le neutre, rendant ces transformateurs extraordinairement résistants au phénomène.
Noyaux à 5 Colonnes ou Banc de Transformateurs Monophasés : Dans les transformateurs à noyau de 5 colonnes (ou trois unités monophasées indépendantes), il existe un chemin de très faible réluctance pour le flux de séquence zéro à travers les colonnes latérales de retour. Par conséquent, $L_0 \approx L_d$ (haute inductance magnétisante de séquence zéro), ce qui accroît exponentiellement le risque de ferrorésonance lors d'ouvertures monophasées. Cette topologie doit être évitée si l'alimentation se fait par un long câble souterrain sans interrupteur tripolaire.

Résistances d'Amortissement (Damping Resistors) sur Tertiaires en Triangle Ouvert

Lorsque le transformateur possède une connexion secondaire ou tertiaire en triangle ouvert (Open Delta / Broken Delta), il est possible d'installer une résistance d'amortissement ( $R_d$ ) connectée aux bornes de l'enroulement en triangle ouvert. Dans des conditions normales triphasées équilibrées, la tension vectorielle sommée à travers le triangle est nulle ( $V_{\Delta} = 0 V$ ), de sorte que la résistance ne dissipe aucune puissance en régime permanent.

Lorsqu'un déséquilibre ferrorésonant ou un déplacement du neutre se produit, une tension de séquence zéro ( $3V_0$ ) apparaît aux bornes du triangle ouvert. La résistance dissipe l'énergie oscillante capacitive en introduisant un facteur d'amortissement ( $\zeta > 1/\sqrt{2}$ ) qui fait s'effondrer les oscillations résonantes. La valeur critique de la résistance d'amortissement rapportée au secondaire se calcule par la relation :

R_d \le \frac{1}{3 \cdot \omega \cdot C_c' \cdot \left(\frac{Nterc}{Nprim}\right)^2}

Où $C_c'$ est la capacité équivalente du câble vue du primaire, et $Nterc/Nprim$ est le rapport de transformation des enroulements.

Manœuvre Contrôlée (Point-on-Wave Switching) et Résistances de Préinsertion (PIR)

Dans les réseaux de transport et de sous-transmission, l'utilisation de disjoncteurs dotés de relais de manœuvre synchrones ou de résistances de préinsertion (PIR) permet d'atténuer le pic de surtension et le courant d'appel (inrush current) lors de la mise sous tension de câbles souterrains et de transformateurs. En enclenchant le disjoncteur à l'instant exact du pic de l'onde de tension pour les charges capacitives, ou au passage par zéro de la tension pour l'inductance magnétisante du transformateur, on minimise la composante continue du flux ( $\Phi_{dc} = 0$ ), empêchant ainsi l'entrée du noyau dans la région de saturation profonde.

Méthodologie d'Analyse et Application Pratique avec Vexten Suite

Pour illustrer le flux de travail d'une analyse rigoureuse de la ferrorésonance et des surtensions dans un projet industriel de haute ingénierie, on utilise la plateforme intégrée Vexten Suite, en exécutant une séquence méthodologique coordonnée via les modules de calcul de court-circuit (IEC 60909), de dimensionnement des câbles (IEC 60287) et de simulation des transitoires et de la réponse fréquentielle.

Flux de Travail Méthodologique dans Vexten Suite

Étape 1 : Caractérisation du Réseau et Puissance de Court-Circuit (Module Vexten Short-Circuit / IEC 60909) :
Le réseau équivalent à haute tension est modélisé en calculant la puissance de court-circuit initiale ( $Ssc''$ ) et l'impédance complexe équivalente du système ( $Z_k = R_k + j X_k$ ) au point de raccordement commun (PCC).
Étape 2 : Modélisation du Câble Souterrain en Haute Fréquence (Module Vexten Cable Manager / IEC 60287) :
On calcule les paramètres électriques répartis de la terna de câbles souterrains en XLPE à la température maximale de service ( $90^\circ C$ ), obtenant la résistance CA ( $R_c$ ), l'inductance répartie ( $L_c$ ) et la capacité de séquence positive et zéro ( $C_1, C_0$ ).
Étape 3 : Calcul de l'Impédance de Sortie et Balayage en Fréquence (Vexten Frequency Scan) :
On calcule l'impédance d'entrée vue des bornes du transformateur en fonction de l'ordre harmonique ( $h$ ), en déterminant les points de résonance parallèle (antirésonance) et de résonance série :

$Zin(h) = \frac{R_c + j h \omega_1 L_c + j h \omega_1 L_m(i)}{1 - h^2 \omega_1^2 L_m(i) C_c + j h \omega_1 R_c C_c}$
Étape 4 : Détermination de la Capacité Critique et Évaluation du Risque de Ferrorésonance (Vexten Transient Engine) :
On compare la capacité totale installée du câble ( $C_{ total } = C_c \cdot Longueur$ ) avec la valeur limite de capacité critique ( $C_{ crit }$ ) définie selon la relation empirico-analytique de la norme IEEE C57.105 :

$C_{ crit } = \frac{S_n}{2\pi f_1 \cdot V_{L-L}^2} \cdot \left( \frac{\%I_m}{100} \right) \cdot K_{ core }$

Où $S_n$ est la puissance nominale du transformateur, $V_{L-L}$ est la tension nominale de ligne, $\%I_m$ est le courant de magnétisation en pourcentage, et $K_{ core }$ est un facteur topologique du noyau ( $K_{ core } \approx 0,01$ pour 3 colonnes, $K_{ core } \approx 1,0$ pour 5 colonnes ou monophasés).

Étude de Cas Numérique Développée

Considérons un système de distribution industrielle présentant les paramètres de terrain suivants :

Tension nominale du système : $V_{L-L} = 33 kV$ ( $50 Hz$ ).
Puissance de court-circuit au nœud du réseau : $Ssc'' = 500 MVA$ ( $X/R = 10$ ).
Câble souterrain d'alimentation : Terna unipolaire XLPE $1 \times 240 mm ^2$ $1 \times 240 m m^{2}$ Cuivre, de longueur $L = 6,5 km$ $L = 6, 5 k m$ .
- Capacité du câble par unité de longueur : $C_c = 0,26 \ \mu F/km$ .
- Capacité totale de la liaison : $C_{ total } = 6,5 \times 0,26 = 1,69 \ \mu F$ .
Transformateur de puissance récepteur : $S_n = 5,0 MVA$ $S_{n} = 5, 0 M V A$ , $33/11 kV$ $33/11 k V$ , couplage Dy11.
- Noyau de type 5 colonnes (haute inductance de séquence zéro).
- Courant de magnétisation à vide : $\%I_m = 0,35\%$ .
- Réactance de fuite : $e_k = 7,5\%$ .
Manœuvre évaluée : Ouverture monophasée accidentelle d'un fusible ou d'un pôle en tête du câble souterrain.

Résolution Analytique et Simulation avec Vexten Suite

1. Calcul de la Capacité Totale du Câble :

C_{ total } = 1,69 \times 10^{-6} F

La réactance capacitive à la fréquence fondamentale ( $50 Hz$ ) est :

X_C = \frac{1}{2\pi \cdot 50 \cdot 1.69 \times 10^{-6}} = \frac{1}{5.309 \times 10^{-4}} = 1883.5 \ \Omega

2. Calcul de l'Inductance Magnétisante Non Saturée du Transformateur :

Le courant de magnétisation nominal par phase (rapporté au primaire de $33 kV$ ) est :

I_n = \frac{S_n}{\sqrt{3} \cdot V_{L-L}} = \frac{5 \times 10^6}{\sqrt{3} \cdot 33 \times 10^3} = 87.48 A

I_m = I_n \cdot \left(\frac{0.35}{100}\right) = 87.48 \times 0.0035 = 0.3062 A

La réactance magnétisante équivalente non saturée par phase ( $X_m$ ) est approchée par :

X_m = \frac{V_{L-N}}{I_m} = \frac{33000 / \sqrt{3}}{0.3062} = \frac{19052.55}{0.3062} = 62222.5 \ \Omega

L_m = \frac{X_m}{2\pi \cdot 50} = \frac{62222.5}{314.16} \approx 198.06 H

3. Détermination de la Capacité Critique ( $C_{ crit }$ ) pour un Noyau à 5 Colonnes :

En appliquant le critère de la norme IEEE C57.105 pour un réseau de $33 kV$ avec un noyau à 5 colonnes ( $K_{ core } = 1.0$ ) :

C_{ crit } = \frac{5.0 \times 10^6}{2\pi \cdot 50 \cdot (33000)^2} \cdot \left( \frac{0.35}{100} \right) \cdot 1.0 = \frac{5.0 \times 10^6}{3.421 \times 10^{11}} \cdot 0.0035 = 5.115 \times 10^{-8} F = 0.05115 \ \mu F

4. Évaluation Forensique du Risque :

C_{ total } \ (1,69 \ \mu F ) \gg C_{ crit } \ (0,05115 \ \mu F )

La capacité installée du câble souterrain dépasse de plus de 33 fois le seuil critique de ferrorésonance. Le rapport entre la réactance capacitive du câble et la réactance magnétisante dans la zone de saturation partielle ( $X_m \to X_{ sat } \approx 200 - 800 \ \Omega$ ) intercepte parfaitement la courbe d'hystérésis du transformateur.

Lors de la simulation sous Vexten Suite de l'ouverture monophasée de la phase A, la tension de la phase ouverte évolue vers une réponse ferrorésonante en Mode Fondamental avec des pics de surtension en régime permanent de :

V_{\text{ pic, ferrorésonant }} = 3,12 p.u. \quad (V_{ phase-terre } = 59,4 kV _{ pic })

De surcroît, on observe un courant de crête hyper-saturé dans l'enroulement primaire de $I_{ pic } = 14,2 A$ ( $46 fois$ le courant de magnétisation nominal), avec une distorsion harmonique totale de tension $THD_v = 42,8\%$ dominée par les 3e et 5e harmoniques.

Actions Correctives et Refonte Implémentée dans Vexten Suite

Pour atténuer de manière définitive le risque imminent de défaillance diélectrique et d'effondrement thermique identifié par l'analyse de Vexten Suite, les deux solutions techniques suivantes sont prescrites et intégrées :

Remplacement de l'Appareillage de Tête : Suppression complète des sectionneurs/fusibles monophasés et installation d'un disjoncteur automatique tripolaire motorisé à déclenchement simultané des trois pôles (temps de dispersion inter-pôle $\Delta t < 1.5 ms$ ).
Installation d'une Résistance d'Amortissement sur le Tertiaire en Triangle Ouvert : Un transformateur de mesure/puissance auxiliaire est adopté avec un enroulement secondaire en triangle ouvert de $110 V$ . La valeur de la résistance d'amortissement $R_d$ requise, dimensionnée par le moteur de simulation de Vexten Suite pour dissiper l'énergie d'oscillation capacitive, s'établit comme suit :
$R_d = \frac{1}{3 \cdot \omega \cdot C_{ total } \cdot \left(\frac{110}{33000/\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{1}{3 \cdot 314.16 \cdot 1.69 \times 10^{-6} \cdot (0.005774)^2} = \frac{1}{5.309 \times 10^{-1}} = 18.83 \ \Omega$

Un banc de résistances de puissance en nickel-chrome de $18 \ \Omega$ est sélectionné commercialement, capable de dissiper une puissance continue de $5 kW$ pendant les régimes transitoires de déséquilibre temporaire.

Lors de la réexécution de l'analyse dynamique dans Vexten Suite avec les modifications topologiques appliquées, la réponse transitoire face aux perturbations asymétriques décroît exponentiellement vers zéro en moins de $f_{ damp } < 40 ms$ (2 cycles à la fréquence industrielle), ramenant la tension et le flux magnétique à des valeurs nominales stables sans encourir de zones de saturation ni de surtensions diélectriques dangereuses.