Ferroresonanz in Transformatoren mit langen Unterseekabeln

Phänomenologie der Harmonischen Resonanz und Ferroresonanz in Kabel-Transformator-Systemen

Bei der Planung und dem Betrieb von Mittel- und Hochspannungsverteilungs- und Unterübertragungsnetzen (MS/HS) führt die Ersetzung von Freileitungen durch Erdkabel mit extrudierter Isolierung — vor allem vernetztes Polyethylen (VPE) — zu wesentlichen Modifikationen der verteilten Netzparameter. Die Quer-Kapazitätsreaktanz eines Erdkabels ist aufgrund der hohen relativen Permitivität des Dielektrikums ($\varepsilon_r \approx 2.3 - 3.0$) und des geringen Abstands zwischen Leiter und Schirm um Größenordnungen kleiner als die einer äquivalenten Freileitung. Wenn ein ausgedehnter Erdkabelabschnitt einen Leistungstransformator im Leerlauf oder bei stark reduzierter Last speist, bildet sich ein Schwingkreis mit hoher Induktivität und Kapazität, der lineare Resonanzerscheinungen und Ferroresonanz aufweisen kann.

Die lineare Resonanz tritt auf, wenn sich die äquivalente Induktivitätsreaktanz des Netzes ($X_L$) exakt mit der Kapazitätsreaktanz des Kabels ($X_C$) bei einer bestimmten Frequenz ausgleicht, sei es bei der Grundfrequenz oder bei einer spezifischen harmonischen Frequenz, die von nichtlinearen Lasten verursacht wird. Das zerstörerischste und komplexeste Phänomen in diesen Topologien ist jedoch die Ferroresonanz: ein nichtlineares superharmonisches oder subharmonisches dynamisches Phänomen, das aus der Wechselwirkung zwischen der verteilten Kapazität des Erdkabels ($C_c$) und der nichtlinearen, sättigbaren Magnetisierungsinduktivität ($L_m(i)$) des ferromagnetischen Transformatorkerns entsteht.

Im Gegensatz zur reinen linearen RLC-Resonanz weist die Ferroresonanz keine einzige Resonanzfrequenz auf, die durch die klassische Gleichung $f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ definiert ist. Da der Transformatorkern ein stark nichtlineares Element ist, das der Hysterese und der magnetischen Sättigung unterliegt, variiert die Magnetisierungsinduktivität drastisch in Abhängigkeit vom Augenblicksfluss $\phi(t)$ oder dem Magnetisierungsstrom $i_m(t)$:

Dabei ist $\lambda$ der Gesamtverkettete Fluss, $N$ die Windungszahl der Wicklung und $\Phi$ der magnetische Fluss im Kern. Im ungesättigten Zustand ist die Magnetisierungsinduktivität extrem hoch ($L_m \approx 10 - 100 H$), aber beim tiefen Eintritt in das Sättigungsregime sinkt die relative Permeabilität des ferromagnetischen Materials ($\mu_r$) drastisch auf Werte nahe der Permeabilität des Vakuums ($\mu_0$), wodurch die inkrementelle Induktivität auf Werte reduziert wird, die der Streuinduktivität der Wicklung entsprechen ($L_k \approx mH$).

Diese abrupte Variation der Induktivität ermöglicht es dem Kreis, die Bedingung der kapazitiv-induktiven Resonanz für mehrere Spannungs- und Frequenzwerte zu erfüllen, was zu Zustandsüngen (Jump Resonance), Bistabilität, anhaltenden harmonischen Überspannungen mit verzerrter Spitze und schweren thermisch-dielektrischen Transienten führt, welche die Betriebsintegrität der elektrischen Betriebsmittel gefährden.

Anregungsmechanismen und Kritische Konfigurationen

Die Ferroresonanz in Erdkabeln, die Transformatoren speisen, wird gewöhnlich durch nicht-gleichzeitige Schaltvorgänge von Schaltgeräten, einphasige Leiterunterbrechungen oder asymmetrische Schmelzungen von Mittelspannungssicherungen ausgelöst. Die drei Hauptanregungskonfigurationen werden im Folgenden beschrieben:

• Einphasiger Betrieb von Schaltgeräten (Asynchrones Öffnen oder Schließen): Während des polweisen Schließens oder Öffnens von Trennschaltern oder einphasigen Leistungsschaltern, oder im Falle eines Polversagens bei einem dreipoligen Leistungsschalter, bleiben eine oder zwei Phasen des Kabels auf der Quellenseite spannungslos, sind aber kapazitiv mit den energisierten Phasen über die Zwischenphasenkapazitäten ($Cm$) und Erdkapazitäten ($Cg$) des Erdkabels gekoppelt. Diese Kopplung speist einen kapazitiven Strom in die energisierte Wicklung des Transformators ein und verschiebt den Arbeitspunkt in die Sättigungszone.
• Gebrochener Leiter bei Leerlaufkabel: Wenn ein Phasenleiter im Kabelabschnitt vor dem Transformator bricht, bleibt der isolierte Kabelabschnitt über die Impedanz der Transformatorwicklung und die Kapazität der anderen Phasen galvanisch gespeist, wodurch ein resonanter Rückkehrkreis mit schwebendem oder geerdetem Sternpunkt gebildet wird.
• Kapazitive Kopplung zwischen Parallelschaltungen: Erdkabel mehrerer Stromkreise, die im selben Kabelkanal oder Graben verlegt sind, können erhebliche kapazitive Energie auf einen außer Betrieb befindlichen, aber nicht geerdeten Transformator übertragen und so Ferroresonanz durch parasitär kapazitive Kopplung induzieren.

Erweiterte Mathematische Formulierung und Zustandsbifurkation

Das dynamische Verhalten der Ferroresonanz wird analytisch durch nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen modelliert. Wenn die Topologie auf einen einphasigen Äquivalenzkreis vereinfacht wird, der von einer sinusförmigen Quelle $v(t) = V_m \cos(\omega t + \theta)$ über eine Kabelkapazität $C_c$ und mit Reihen-/Parallel-Verlustwiderstand $R$ gespeist wird, wird die Beziehung zwischen dem verketteten magnetischen Fluss $\phi(t)$ und dem Magnetisierungsstrom $i(t)$ des Transformators durch ein ungerades Polynom vom Grad $n$ angenähert (wobei üblicherweise $n = 7, 9 oder 11$):

Unter Anwendung des zweiten Kirchhoffschen Gesetzes auf die Masche aus Spannungsquelle, Kabelkapazität und sättigbarer Magnetisierungsinduktivität des Transformators entspricht die Differentialgleichung des Systems einer erzwungenen Duffing-Gleichung:

Dabei repräsentiert $R_s$ die äquivalenten Verluste durch den Joule-Effekt und Eisenverluste (Wirbelströme und Hystereseverluste im Kern). Die durch den Term $b \cdot \phi^n$ eingeführte Nichtlinearität entzieht dem Superpositionsprinzip die Gültigkeit und erzeugt ein multifurkentes Phasenporträt.

Zustandsraumanalyse und Bifurkationsdiagramme

Für eine rigorose dreiphasige Analyse wird das System im Vektor-Zustandsraum formuliert:

Wobei der Zustandsvektor $\mathbf{x}(t) = [\phi_a, \phi_b, \phi_c, vca, vcb, vcc]^T$ die Flüsse in den Kernen jeder Phase und die Spannungen an den Kabelkondensatoren enthält; $\mathbf{u}(t)$ die externe Spannungsanregung ist; und $\mathbf{\mu}$ den Vektor der physikalischen Parameter ($L_c, C_c, Rcore, Kabellänge$) repräsentiert.

Wenn der Steuerungsparameter (z. B. die Kabellänge oder die Systemspannung $Vrms$) kontinuierlich erhöht wird, unterliegen die stationären Lösungen des Systems topologischen Bifurkationen. Die resultierenden Ferroresonanzmodi, kategorisiert nach der Theorie dynamischer Systeme, sind:

• Grundschwingungsmodus (Synchron 1/1): Die Strom- und Spannungsantwort ist periodisch mit derselben Periode $T = 2\pi/\omega$ wie das elektrische Netz. Sie ist durch sehr hohe Spitzenströme und wiederholte Hypersättigung in jedem Halbzyklus gekennzeichnet.
• Subharmonischer Modus (1/n): Die Antwort ist periodisch mit einer Periode, die ein ganzzahliges Vielfaches der Quellenperiode ist ($T_s = n \cdot T$, typischerweise $n = 3, 5$). Der magnetische Fluss oszilliert mit Frequenzen von $16,6 Hz$ oder $20 Hz$ (für 50/60-Hz-Netze), was ein charakteristisches Brummen sehr niedriger Frequenz und eine schwere thermische Sättigung erzeugt.
• Quasi-periodischer Modus: Die Frequenzen der Antwort sind inkommensurabel mit der Netzfrequenz. Die Trajektorie im Phasenraum bildet einen Torus und wiederholt sich zeitlich nicht umgekehrt.
• Chaotischer Modus: Die Trajektorie im Zustandsraum ist deterministisch, aber extrem empfindlich gegenüber den Anfangsbedingungen (Schmetterlingseffekt). Das Frequenzspektrum ist kontinuierlich und flach (Breitbandrauschen), und die Überspannungen weisen unvorhersehbare, stochastische Spitzen von verheerender Größe auf.

Forensische Analyse der Dielektrischen und Thermischen Fehlerarten

Das Auftreten von unerkannten oder lang anhaltenden ferroresonanten Ereignissen in Kabel-Transformator-Teilsystemen führt unweigerlich zu katastrophalen Ausfällen. Die elektrotechnische Schadensanalyse klassifiziert die Zerstörungen in vier Hauptmechanismen der Degradation und des Kollaps:

Thermischer Kollaps durch Magnetischen Überfluss ($V/f$)

Während der Ferroresonanz im Grundschwingungs- oder subharmonischen Modus übersteigt der magnetische Fluss im Kern den nominalen Sättigungsfluss ($B_s \approx 1.7 - 2.0 Tesla$) deutlich und erreicht Exkursionswerte von bis zu $2.3 Tesla$. Diese extreme Überflutung erfüllt die Bedingung:

Da der ferromagnetische Kern vollständig gesättigt ist, können sich die magnetischen Feldlinien nicht mehr innerhalb der kornorientierten Silizium-Elektrobleche (CRGO) einkapseln und streuen in die umgebenden Medien geringerer Reluktanz ab: das DIelektrikum Öl, die mechanischen Halterungen (Joche und Zugstangen), die magnetischen Abschirmungen und die Stahlblechwände des Transformatortanks. Der Streufluss induziert massive Wirbelströme in der externen Metallstruktur und in den Ankerschrauben. Die pro Volumeneinheit abgegebene Leistungsdichte skaliert gemäß:

Dabei repräsentiert $t_d$ die Dicke des leitfähigen Materials und $K$ eine Strukturkonstante. Dieses Phänomen erzeugt lokalisierte Heißpunkte (Hotspots) mit Temperaturen, die innerhalb von Minuten rasch $300^\circ C$ bis $500^\circ C$ übersteigen, wodurch das Isolieröl pyrolysiert (beschleunigte Erzeugung gelöster Gase wie Ethylen $C_2H_4$, Wasserstoff $H_2$ und Methan $CH_4$) und die feste Cellulose-Isolierung (Kraftpapier) durch abrupte thermische Depolymerisation irreversibel degradiert wird.

Dielektrische Durchschlagung durch Verschobene und Harmonische Überspannungen

Überspannungen ferroresonanten Ursprungs unterscheiden sich von Blitzstoßspannungen (BIL) oder Schaltüberspannungen (SIL). Sie haben einen zeitlich anhaltenden Charakter (von Sekunden bis Stunden) mit verzerrten Wellenformen, die hohe Änderungsraten der Spannung in Bezug auf die Zeit ($dV/dt$) aufweisen. Bei Transformatoren mit isoliertem Sternpunkt oder hochohmig geerdetem Sternpunkt hebt die Verschiebung des Sternpunkts während eines einphasigen Schaltvorgangs die Spannung der gesunden Phasen auf Phase-Phase-Werte ($\sqrt{3} p.u.$) oder höher (bis zu $3.5 - 4.5 p.u.$).

Die auf das VPE-Kabeldielektrikum und auf die Isolierung zwischen den Spulen/Lagen der Transformatorwicklung einwirkende Spannung übersteigt den kritischen dielektrischen Festigkeitsgradienten ($E_{ crit }$). Dies löst aus:

• Wasserbäume (Water Treeing) und Elektrische Bäume (Electrical Treeing) in VPE: Die harmonischen Überspannungen beschleunigen die Alterung durch Teilentladungen (TD) in mikroskopischen Hohlräumen des Polyethylen-Dielektrikums und erodieren das Material durch kontinuierliche dendritische Entladungen bis zum vollständigen Erdschluss.
• Ausfall der Zwischenwindungs-Isolierung in Transformatoren: Die hohen hochfrequenten Oberschwingungen erzwingen eine ungleichmäßige Spannungsverteilung entlang der Primärwicklung. Der erste Prozentsatz der Windungen nahe der Eingangsklemme trägt bis zu $70\%$ der auferlegten Überspannungsspitze, was den Durchschlag des Lack- oder Papierleiters und einen Kurzschluss zwischen benachbarten Windungen verursacht.

Thermisch-Destruktive Effekte in Überspannungsableitern (MOV)

Zinkoxid-Überspannungsableiter (MOV - Metal Oxide Varistors), die an der Kabel-Transformator-Schnittstelle installiert sind, sind so dimensioniert, dass sie Stoßenergie-Transienten von kurzer Dauer (Mikrosekunden bis Millisekunden) absorbieren. Während eines anhaltenden Ferroresonanzereignisses übersteigt die Klemmenspannung kontinuierlich die Dauerspannung bei Betriebsfrequenz (MCOV - Maximum Continuous Operating Voltage).

Der MOV gerät in eine Zone kontinuierlicher aktiver Hochstromleitung. Die innerhalb der ZnO-Pabletten abgegebene Energie wird berechnet als:

Da die Dauer $t_{ ferro }$ kontinuierlich ist, übersteigt die angesammelte Energie die thermische Nenn-Energieabsorptionskapazität des Varistors (üblicherweise ausgedrückt in $kJ/kV$ der MCOV, typisch $4 bis 12 kJ/kV$). Beim Überschreiten der thermischen Grenze erleiden die ZnO-Tabletten ein thermisches Durchgehen (Thermal Runaway), wodurch ihr intrinsischer Widerstand auf Null sinkt und ein heftiger Phase-Erde-Kurzschluss mit mechanischer Explosion und dem Wegschleudern von Porzellan- oder Polymerfragmenten ausgelöst wird.

Internationale Normen und Kriterieller Rahmen (IEEE / IEC)

Die Auslegung von aus Kabeln und Transformatoren integrierten Teilsystemen erfordert die strikte Einhaltung normativer Vorgaben zur Gewährleistung der Immunität gegen Ferroresonanzphänomene und der Betriebsinvarianz.

Die wichtigsten anwendbaren internationalen Normen sind:

• IEEE C57.105: IEEE Guide for Application of Transformer Connections in Three-Phase Distribution Systems. Bietet detaillierte Richtlinien zu ferroresonanzanfälligen Transformatorschaltungen und definiert praktische Grenzen für die kritische Länge von Erdkabeln.
• IEC 60071-1 / IEEE Std 1313.1: Insulation Coordination - Part 1: Definitions, principles and rules. Definiert genormte Isolationspegel, temporäre Überspannungsfaktoren (TOV) und Bewertungskriterien für nichtlineare, anhaltende Überspannungen.
• IEC 60076-1 / IEEE C57.12.00: Power Transformers - Part 1: General. Spezifiziert die Toleranzen für kontinuierliche magnetische Überflutung ($V/f \le 1.10 p.u.$ bei Volllast, $V/f \le 1.05 p.u.$ im Leerlauf).
• IEEE 519: IEEE Standard for Harmonic Control in Electric Power Systems. Legt zulässige Grenzwerte für die Oberschwingungs-Spannungsverzerrung ($THD_v \le 5\%$ in MS, $\le 1.5 - 2.5\%$ in HS) und die Oberschwingungsstromeinspeisung fest.

Betriebs- / Dielektrischer Parameter	Referenznorm	Kritischer Kriterien-Schwellenwert	Inzipienter Fehler-Mechanismus	Thermische/Dielektrische Auswirkung auf das Betriebsmittel
Überflutungsfaktor ($V/f$)	IEC 60076-1 / IEEE C57.12.00	$> 1.10 p.u.$ (Kontinuierlich) $> 1.25 p.u.$ ($t > 10 s$)	Streuung des magnetischen Flusses in nicht laminierte Strukturteile.	Ölpyrolyse, Hotspot an Jochen ($>250^\circ C$), Degeneration des Isolierpapiers.
Temporäre Überspannung (TOV)	IEC 60071-1	$> 1.50 p.u.$ ($t > 1 s$) $> 2.50 p.u.$ ($t > 0.1 s$)	Überschreitung der dielektrischen Festigkeit bei Netzfrequenz.	Teilentladungen in VPE, Zwischenlagen-/Zwischenwindungsdurchschlag in Wicklungen.
Energieabsorption im MOV	IEC 60099-4 / IEEE C62.11	$E_{ abs } > E_{ th }$ ($4 - 10 kJ/kV$)	Übermäßige Verlustleistungserzeugung im MCOV-Dauerleitungsbetrieb.	Thermisches Durchgehen (Thermal Runaway), interner Kurzschluss und Explosion des Ableiters.
Relative Kabellänge ($L_{ cable }$)	IEEE C57.105	Äquivalente Kabelkapazität übersteigt die kritische Kapazität $C_{ crit }$.	Bildung des Serien-Resonanzkreises aus Kabelkapazität und gesättigter Induktivität.	Chaotische Bifurkation oder selbsthaltender subharmonischer Modus bei einphasiger Schaltbedienung.
Oberschwingungs-Spannungsverzerrung ($THD_v$)	IEEE 519 / IEC 61000-3-6	$THD_v > 5.0\%$ (MS) $THD_v > 2.5\%$ (HS)	Oberschwingungseinspeisung koinzident mit natürlichen Parallelresonanzfrequenzen.	Zusätzliche Wirbelstromverluste im Kupfer und schwere Parallelresonanz.

Konstruktions-, Mitigations- und Netztopologiestrategien

Die Prävention und Unterdrückung von Ferroresonanzphänomenen in Systemen, die durch lange Erdkabel gespeist werden, erfordert eine Kombination aus robusten Netztopologien, strengen Schaltkriterien und passiven/aktiven Dämpfungselementen.

Beseitigung des Einphasenbetriebs (Dreipolige Schaltanlagen)

Die effektivste präventive Maßnahme auf Ebene der Primärplanung ist das Verbot der Installation von einphasigen Sicherungen oder polweisen Trennschirren am Anfang der Erdkabelspeisung zu Verteil- oder Unterübertragungstransformatoren. Stattdessen ist die ausschließliche Verwendung von Leistungsschaltern oder Lasttrennschaltern mit mechanischem, dreipoligem Simultanamtrieb erforderlich. Durch die Gewährleistung, dass alle drei Phasen mit einer zeitlichen Streuung zwischen den Polen von weniger als $2 ms$ verbunden und getrennt werden, wird die kapazitive Spannungseinspeisung über offene Phasen eliminiert.

Auswahl der Topologie und Konstruktion des Transformatorkerns

Die physikalische Konstruktion des Magnetkerns beeinflusst die Anfälligkeit für Ferroresonanz drastisch:

• 3-Schenkel-Kerne (3-Leg Core): Bei einem dreiphasigen Kern mit drei koplanaren Schenkeln hat der Nullsystemfluss keinen geschlossenen Pfad aus ferromagnetischem Material für die Rückkehr. Der Nullsystemfluss muss den Kern verlassen und über das Öl und den metallischen Kessel zurückkehren, was eine extrem niedrige Nullsysteminduktivität ($L_0$) zur Folge hat (typischerweise $0.1 - 0.2 p.u.$). Diese niedrige Induktivität bietet eine drastische natürliche Dämpfung gegen Ferroresonanzmodi, die den Sternpunkt einbeziehen, wodurch diese Transformatoren gegen das Phänomen äußerst widerstandsfähig werden.
• 5-Schenkel-Kerne oder Einphasen-Trafo-Bank: Bei Transformatoren mit 5-Schenkel-Kern (oder drei unabhängigen einphasigen Einheiten) existiert ein Pfad sehr niedriger Reluktanz für den Nullsystemfluss über die äußeren Rückführschenkel. Folglich gilt $L_0 \approx L_d$ (hohe Magnetisierungs-Nullsysteminduktivität), was das Ferroresonanzrisiko bei einphasigen Öffnungen exponentiell erhöht. Diese Topologie sollte vermieden werden, wenn die Einspeisung über ein langes Erdkabel ohne dreipoligen Leistungsschalter erfolgt.

Dämpfungswiderstände (Damping Resistors) in Offenen Dreieck-Tertiärwicklungen

Wenn der Transformator eine Sekundär- oder Tertiärschaltung in offener Dreieckschaltung (Open Delta / Broken Delta) aufweist, kann ein Dämpfungswiderstand ($R_d$) installiert werden, der zwischen den Enden der Wicklung im offenen Dreieck angeschlossen ist. Unter normalen, symmetrischen Dreiphasenbedingungen ist die über das Dreieck summierte Vektorspannung null ($V_{\Delta} = 0 V$), sodass der Widerstand im Dauerbetrieb keine Leistung verbraucht.

Beim Auftreten eines ferroresonanten Ungleichgewichts oder einer Sternpunktverschiebung tritt eine Nullsystemspannung ($3V_0$) an den Klemmen des offenen Dreiecks auf. Der Widerstand absorbiert die oszillierende kapazitive Energie durch Einführung eines Dämpfungsfaktors ($\zeta > 1/\sqrt{2}$), der die resonanten Schwingungen kollabieren lässt. Der kritische Wert des auf die Sekundärseite bezogenen Dämpfungswiderstands wird über das Verhältnis berechnet:

Dabei ist $C_c'$ die äquivalente Kabelkapazität, gesehen von der Primärseite, und $N_{ terc }/N_{ prim }$ das Übersetzungsverhältnis der Wicklungen.

Gesteuertes Schalten (Point-on-Wave Switching) und Einschaltstrom-Begrenzungswiderstände (PIR)

In Übertragungs- und Unterübertragungsnetzen ermöglicht der Einsatz von Schaltern mit Synchron-Schaltrelais oder Einschaltstrom-Begrenzungswiderständen (PIR) die Minderung von Überspannungsspitzen und Einschaltströmen (Inrush Current) beim Zuschalten von Erdkabeln und Transformatoren. Durch das Schalten des Leistungsschalters im exakten Moment des Spannungswellen-Scheitelwerts für kapazitive Lasten oder beim Nulldurchgang der Spannung für die Magnetisierungsinduktivität des Transformators wird die Gleichstromkomponente des Flusses minimiert ($\Phi_{ dc } = 0$), wodurch der Eintritt des Kerns in den Bereich tiefer Sättigung verhindert wird.

Analytische Methodik und Praktische Anwendung mit Vexten Suite

Zur Veranschaulichung des strengen Analyse-Workflows für Ferroresonanz und Überspannungen in einem industriellen Hochtechnologieprojekt wird die integrierte Plattform Vexten Suite eingesetzt, wobei eine koordinierte methodische Sequenz über die Berechnungsmodule für Kurzschluss (IEC 60909), Kabeldimensionierung (IEC 60287) sowie Transienten- und Frequenzgangsimulation ausgeführt wird.

Methodischer Workflow in der Vexten Suite

1. Schritt 1: Charakterisierung des Netzes und der Kurzschlussleistung (Modul Vexten Short-Circuit / IEC 60909):

   Das äquivalente Hochspannungsnetz wird modelliert, indem die Anfangskurzschlussleistung ($Ssc''$) und die äquivalente komplexe Netzimpedanz ($Z_k = R_k + j X_k$) am gemeinsamen Anschlusspunkt (PCC) berechnet werden.

2. Schritt 2: Modellierung des Erdkabels bei Hochfrequenz (Modul Vexten Cable Manager / IEC 60287):

   Die verteilten elektrischen Parameter des VPE-Erdkabeldreiers bei maximaler Betriebstemperatur ($90^\circ C$) werden berechnet, um den AC-Widerstand ($R_c$), die verteilte Induktivität ($L_c$) und die Mit- sowie Nullsystemkapazität ($C_1, C_0$) zu erhalten.

3. Schritt 3: Berechnung der Ausgangsimpedanz und des Frequenzscans (Vexten Frequency Scan):

   Die Eingangsimpedanz, gesehen von den Transformatorenklemmen aus, wird in Abhängigkeit von der Oberschwingungsordnung ($h$) berechnet, wodurch Parallelresonanzpunkte (Antiresonanz) und Serienresonanzpunkte ermittelt werden:

   $$Z_{ in }(h) = \frac{R_c + j h \omega_1 L_c + j h \omega_1 L_m(i)}{1 - h^2 \omega_1^2 L_m(i) C_c + j h \omega_1 R_c C_c}$$
4. Schritt 4: Bestimmung der Kritischen Kapazität und Bewertung des Ferroresonanzrisikos (Vexten Transient Engine):

   Die installierte Gesamtkapazität des Kabels ($C_{ total } = C_c \cdot Länge$) wird mit dem kritischen Kapazitätsgrenzwert ($C_{ crit }$) verglichen, der gemäß der empirisch-analytischen Beziehung nach IEEE C57.105 definiert ist:

   $$C_{ crit } = \frac{S_n}{2\pi f_1 \cdot V_{L-L}^2} \cdot \left( \frac{\%I_m}{100} \right) \cdot K_{ core }$$

   Dabei ist $S_n$ die Nennleistung des Transformators, $V_{L-L}$ die Nenn-Leiterspannung, $\%I_m$ der Magnetisierungsstrom in Prozent und $K_{ core }$ ein topologischer Kernfaktor ($K_{ core } \approx 0.01$ für 3 Schenkel, $K_{ core } \approx 1.0$ für 5 Schenkel oder Einphasentrafos).

Durchgeführter Numerischer Fallstudien-Beispiel

Betrachtet man ein industrielles Verteilungsnetz mit den folgenden Feldparametern:

• Netznennspannung: $V_{L-L} = 33 kV$ ($50 Hz$).
• Kurzschlussleistung am Netzknoten: $Ssc'' = 500 MVA$ ($X/R = 10$).
• Erdkabelspeisung: Einleiter-VPE-Treu $1 \times 240 mm ^2$ Kupfer, mit einer Länge von $L = 6.5 km$.
  • Kabelkapazität pro Längeneinheit: $C_c = 0.26\ \mu F/km$.
  • Gesamtkapazität der Verbindung: $C_{ total } = 6.5 \times 0.26 = 1.69\ \mu F$.
• Empfangender Leistungstransformator: $S_n = 5.0 MVA$, $33/11 kV$, Schaltgruppe Dy11.
  • 5-Schenkel-Kern (hohe Nullsystem-Induktivität).
  • Leerlauf-Magnetisierungsstrom: $\%I_m = 0.35\%$.
  • Kurzschlussspannung: $e_k = 7.5\%$.
• Bewerteter Schaltvorgang: Unbeabsichtigte einphasige Öffnung einer Sicherung oder eines Pols am Anfang des Erdkabels.

Analytische Auflösung und Simulation in der Vexten Suite

1. Berechnung der Gesamtkapazität des Kabels:

Die kapazitive Reaktanz bei Grundfrequenz ($50 Hz$) ergibt sich zu:

2. Berechnung der ungesättigten Magnetisierungsinduktivität des Transformators:

Der nominelle Magnetisierungsstrom pro Phase (bezogen auf die Primärseite von $33 kV$) beträgt:

Die äquivalente ungesättigte Magnetisierungsreaktanz pro Phase ($X_m$) wird angenähert durch:

3. Bestimmung der Kritischen Kapazität ($C_{ crit }$) für einen 5-Schenkel-Kern:

Unter Anwendung des Kriteriums der Norm IEEE C57.105 für ein $33 -kV$-Netz mit 5-Schenkel-Kern ($K_{ core } = 1.0$):

4. Forensische Risikobewertung:

Die installierte Kapazität des Erdkabels übersteigt den kritischen Ferroresonanz-Schwellenwert um mehr als das 33-fache. Das Verhältnis zwischen der kapazitiven Reaktanz des Kabels und der Magnetisierungsreaktanz in der Zone partieller Sättigung ($X_m \to X_{ sat } \approx 200 - 800\ \Omega$) schneidet die Hysteresekurve des Transformators perfekt.

Bei der Simulation der einphasigen Öffnung von Phase A in der Vexten Suite skaliert die Spannung der offenen Phase auf eine ferroresonante Grundschwingungs-Antwort mit stationären Überspannungsspitzen von:

Zusammen mit einem übersättigten Spitzenstrom in der Primärwicklung von $I_{ peak } = 14.2 A$ ($46 -mal$ der Nenn-Magnetisierungsstrom) und einer Gesamtharmonischen Spannungsverzerrung von $THD_v = 42.8\%$, dominiert von der 3. und 5. Oberschwingung.

Korrekturmaßnahmen und Implementiertes Redesign in der Vexten Suite

Zur definitiven Minderung des im Vexten-Suite-Analysebericht identifizierten, drohenden Risikos eines dielektrischen Versagens und thermischen Kollapses werden die folgenden zwei technischen Lösungen vorgeschrieben und integriert:

1. Austausch der Einspeiseschaltgeräte: Vollständige Eliminierung einphasiger Trennschalter/Sicherungen und Installation eines motorisierten, dreipoligen Leistungsschalters mit simultaner Auslösung aller drei Pole (Inter-Pol-Streuzeit $\Delta t < 1.5 ms$).
2. Installation eines Dämpfungswiderstands im offenen Dreieck-Tertiär: Es wird ein Mess-/Leistungstransformator mit einer sekundären offenen Dreieckwicklung von $110 V$ eingesetzt. Der erforderliche Wert des Dämpfungswiderstands $R_d$, dimensioniert über die Simulations-Engine der Vexten Suite zur Ableitung der kapazitiven Oszillationsenergie, beträgt:
   $$R_d = \frac{1}{3 \cdot \omega \cdot C_{ total } \cdot \left(\frac{110}{33000/\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{1}{3 \cdot 314.16 \cdot 1.69 \times 10^{-6} \cdot (0.005774)^2} = \frac{1}{5.309 \times 10^{-1}} = 18.83\ \Omega$$

   Kommerziell wird eine Nickel-Chrom-Leistungswiderstandsbank von $18\ \Omega$ ausgewählt, die in der Lage ist, während transienter Ungleichgewichtszustände kontinuierlich eine Leistung von $5 kW$ zu absorbieren.

Beim erneuten Durchführen der dynamischen Analyse in der Vexten Suite mit den angewandten topologischen Modifikationen klingt die transiente Antwort auf asymmetrische Störungen in weniger als $f_{ damp } < 40 ms$ (2 Netzfrequenzzyklen) exponentiell auf Null ab, wodurch Spannung und magnetischer Fluss in stabile Nennparameter zurückkehren, ohne in Sättigungszonen oder gefährliche dielektrische Überspannungen zu geraten.